Մհեր Մնացականյան

Առաջադրանքներ․

1)Փոփոխականի փոխարինմամբ ստացե՛ք քառակուսային հավասարում.
ա) (x + 2)2 + 5(x + 2) — 3 = 0
y2+5y-3=0
բ) (x — 4)2 — 3(x — 4) + 1 = 0
y2-3y+1=0
գ) 2(x — 3)2 — (x — 3) + 5 = 0
2y2-y+5=0
դ) 2(x + 7)2 — 4(x + 7) — 1 = 0
2y2-4y-1=0

2)Փոփոխականի փոխարինմամբ լուծե՛ք հավասարումը.
ա) (x — 4)2 + 6(x — 4) + 5 = 0
y2+6y+5=0
D=b2-4ac=36-20=16
y1=-b-√D/2a=-6-4/2=-5
y2=-b+√D/2a=-6+4/2=-1
x-4=-5
x-4=-1
x1=-1
x2=3
բ) (x + 1)2 — 7(x + 1) — 18 = 0
y2-7y-18=0
D=49+72=121
y1=7-11/2=-2
y2=7+11/2=9
x+1=-2
x+1=9
x1=-3
x2=8
գ) (x — 1)2 + 8(x — 1) + 12 = 0
y2+8y+12=0
D=64-48=16
y1=8-4/2=-2
y2=8+4/2=6
x-1=-2
x-1=6
x1=-3
x2=5
դ) (4z + 3)2 — (4z + 3) — 2 = 0
y2-y-2=0
D=1+8=9
y1=1-3/2=1
y2=1+3/2=2
4z+3=1
4z+3=2
z1=-0,5
z2=-0,25

3)Փոփոխականի փոխարինմամբ ստացե՛ք քառակուսային հավասարում.
ա) a4 + 5a2 — 7 = 0
x=a2
x2+5x-7=0
բ) 4×4 + 9×2 — 1 = 0
y=x2
4y2+9y-1=0
գ) 5×4 + 9×2— 12 = 0
y=x2
5y2+9y-12=0
դ) -2b4 + 7b2 + 1 = 0
x=b2
-2×2+7x+1=0

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք տրված թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը.

ա) 9, 11, 13, …,
d=a2-a1=11-9=2
բ) 1, 0, -1, ….
d=a2-a1=0-1=-1
գ) 3, 7, 11, …,
d=a2-a1=7-3=4
դ) 4, 1, -2, …,
d=a2-a1=1-4=-3
ե) 1, 1.5, 2, …,
d=a2-a1=1,5-1=0,5
զ) 7.5, 6.2, 4.9, …,
d=a2-a1=6,2-7,5=-1,3

2)Տրված է {an} թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներից ինչ-որ մեկը և d տարբերությունը: Գտե՛ք պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները.

ա)a1 = 2 d = 5
a2=a1+d=2+5=7
a3=a2+d=7+5=12
a4=a3+d=12+5=7
բ)a1 = 9 d = — 3
a2=a1+d=9+(-3)=6
a3=a2+d=6+(-3)=3
a4=a3+d=3+(-3)=0
գ)a2 = — 2 d = 1.5
a1=a2-d=-2-1,5=-3,5
a3=a2+d=-2+1,5=-0,5
a4=a3+d=-0,5+1,5=1
դ)a3 = — 7 d = — 3.5
a1=a3-2d=-7-2x(-3,5)=-7+7=0
a2=a1+d=0+(-3,5)=-3,5
a4=a1+3d=0+3x(-3,5)=0-10,5=-10,5

3)Տրված է {an} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S12 — ը, եթե a1 = 5, a12 = 35
S12=(a1+an)/2xn=5+35/2×12=240
բ)S9 — ը, եթե a1 = 4, a9 = 28
S9=(a1+an)/2xn=4+28/2×9=144
գ)S17 — ը, եթե a1 = 4, a17 = 45
S17=(a1+an)/2xn=4+45/2×17=416,5
դ)S5 — ը, եթե a1 = 2, a5 = -8
S5=(a1+an)/2xn=2+(-8)/2×5=-15

4)Տրված է {an} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S10 — ը, եթե a1 = 3, d = 4
S10=2a1+d(n-1)/2xn=6+4(10-1)/2×10=210
բ)S8 — ը, եթե a1 = 7, d = 1
S8=2a1+d(n-1)/2xn=14+1(8-1)/2×8=420
գ)S13 — ը, եթե a1 = 4, d = -1
S13=2a1+d(n-1)/2xn=8+(-1)(13-1)/2×13=546
դ)S5 — ը, եթե a1 = -4, d = 2
S5=2a1+d(n-1)/2xn=-8+2(5-1)/2×5=-60

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է {an} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S7 -ը, եթե a1 = 1, q = 2
s7=1*27-1/2-1=127

բ)S8 -ը, եթե a1 = -1, q = 3
s8=-1*38-1/3-1=-3280

գ)S4 -ը, եթե a1 = 8, q = 1/2
s4=8*1/24-1/;1/2-1=15

դ)S6 -ը, եթե a1 = 4, q = -3
s6=4*-36-1/-3-1=-728

2)Տրված է {an} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք S5 -ը.

ա) a2 = 4, q = 3

բ) a3 = 9, a4 = 27

գ) a2 = 8, q = -1/2

3)Տրված է {an} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտե՛ք a1 — ը, եթե

ա) S4 = 30, q = 2

30 = a1 * (2^4 – 1) / (2 – 1)

30 = a1 * 15

a1 = 30 / 15 = 2

բ) S6 = -2184, q = 3


-2184 = a1 * (3^6 – 1) / (3 – 1)

-2184 = a1 * 728 / 2

-2184 = a1 * 364

a1 = -2184 / 364 = -6

գ) S7 = 5, q = -1

5 = a1 * ((-1)^7 – 1) / (-1 – 1)

5 = a1 * (-2) / (-2)

5 = a1 * 1

a1 = 5

դ) S3 = 91, q = -4

91 = a1 * ((-4)^3 – 1) / (-4 – 1)

91 = a1 * (-65) / (-5)

91 = a1 * 13

a1 = 91 / 13 = 7

4)Տրված է bn = 3 * 2n — 1 երկրաչափական պրոգրեսիան: Հաշվե՛ք.

ա)b3 + b4

բ)b5 + b6

5){an} երկրաչափական պրոգրեսիայում a1 = 6, q = -1: Հաշվե՛ք.

ա)S2025 — ը

բ)S2026 — ը

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք թվային տվյալների լայնքը, մոդն (եթե ունի) ու մեդիանը.
ա) 2, 2, 2, 5, 5, 8, 10
Լայնք-8
Մոդ-2
Մեդիան-5
բ) -5, 4, 2, 6, 6, 8, 8, 8

Լայնք-13
Մոդ-8
Մեդիան-6
գ)-105, 12, 12, 250, 233, 205, 12

-105, 12, 12, 12, 205, 233, 250

Լայնք-355
Մոդ-12
Մեդիան-12
դ) -20, -120, 0, 15, 7, 7, 120, 500

-120, -20, 0, 7, 7, 15, 120, 500

Լայնք-620
Մոդ-7
Մեդիան-7

2)Հաշվե՛ք թվային տվյալների միջին թվաբանականն ու մեդիանը.
ա) 1, 3, 3, 5, 7
Միջին թվաբանական-1+3+3+5+7/5=13,4
Մեդիան-3
բ) 5, 2, 1, -2, 7, -4

-4, -2, 1, 2, 5, 7
Միջին թվաբանական-4,5
Մեդիան-1,5
գ) 4,5,7,5,-8, 45

-8, 4, 5, 5, 7, 45
Միջին թվաբանական-9,(6)
Մեդիան-5
դ) 2, 2, 8, 8, 8, 250, -120

-120, 2, 2, 8, 8, 8, 250
Միջին թվաբանական-158/7
Մեդիան-8
ե) 1, 1, 1, 1, 5, 5, -6, -10

-10, -6 , 1, 1, 1, 1, 5, 5
Միջին թվաբանական- -2/8
Մեդիան-1

3)Գտե՛ք թվային տվյալների միջինը, մոդը, մեդիանը և լայնքը.
ա) 0, 0, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10
Լայնք-10
Մոդ-10
Մեդիան-10
Միջին թվաբանական-60/9
բ) 1, 1, 2, 2, 2, 19, 20, 21
Լայնք-20
Մոդ-2
Մեդիան-2
Միջին թվաբանական-8,5
գ)-6, 6, 0, -3, 3

-6,-3, 0, 3, 6
Լայնք-12
Մոդ-
Մեդիան-0
Միջին թվաբանական-0
դ) –10, 0, 0, 12, 13, 12, 12

-10, 0, 0, 12, 12, 12, 13
Լայնք-23
Մոդ-12
Մեդիան-12
Միջին թվաբանական-39/7

4)Գտե՛ք a-ի թվային արժեքը, եթե հայտնի է, որ a, 1, 1, 2, 2, 4 բնական թվերի՝
ա) մոդը 2 է

a=2
բ) մեդիանը 1.5 է

a=1
գ) լայնքը 4 է

a=0
դ) միջինը 3 է

a=8
ե) մեդիանը մեծ է մոդից

1)Արտահայտությունն արտահայտե´ք a1-ով ու d-ով.
ա) a5 + a10=(a1+4d)+(a1+9d)=2a1+13d
բ) a3 + 2a7=(a1+2d)+2(a1+6d)=3a1+14d
գ) a7 + a8 — 2a6=(a1+6d)+(a1+7d)-2(a1+5d)=3d
դ) a15 + a17 — 2a16=(a1+14d)+(a1+16d)-2(a1+15d)=0

2){an} թվաբանական պրոգրեսիայում գտեք
ա) a2 և d-ն, եթե a1 = 5, a3 = 13 ;

13-5=8, 8/2=4 , d=4


բ) a1 և d-ն, եթե a2 = 3 , a10 = 19 ;

a1=1

d=2


գ) a2 և d-ն, եթե a12 = — 2 , a3 = 7 ;

a2=6

d=-1
դ) a101 և d-ն, եթե a12 = 20,5 ; a7 = 10, 5 :

a101=207,4

d=2,1

3)Տրված է {an} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվեք․
ա) S20 — ը, եթե a1 = 1 , a20 = 20 ;

210
բ) S13, եթե a1 = 17, a13 = 13 ;

195
գ) S30, եթե a1 = — 10 a30 = 20 ;

150
դ) S17, եթե a1 = 11, a17 = 19 :

255

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է 1, 3, 9, 27, … երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտեք նրա հայտարարը և հինգերորդ, վեցերորդ ու յոթերորդ անդամները:

q=3
a5=a1xqn-1=1×34=1×81=81
a6=a1xqn-1=1×35=1×243=243
a7=a1xqn-1=1xq6=1×729=729

2)Հաջորդականությունն արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիա՞ է.
ա) 1, 8, 15, 21, 26, …;
ոչ
բ) 4, 2, 1, 0,5, 0,25, …;
այո
գ) -2, 2, -2, 2, -2, …;
այո
դ) 0, 4, 16, 64, 256, …:
ոչ

3)Գտեք an երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները, եթե a1 = 2, q = 0,25 :

a2=a1xq=2×0,25=0,5
a3=a1xqn-1=2×0,0625=0,125
a4=a1xqn-1=2×0,015625=0,03125

4)Տրված է an երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվեք.
ա)a3 — ը, եթե a1= 0,5, q = — 2;
a3=a1xqn-1=0,5×4=2
բ)a4 — ը, եթե a1 = -2, q = 3;
a4=a1xqn-1=-2×9=-18
գ) a3 — ը և q — ն, եթե a1 = 3, a2 = 4;
q=a2/a1=4/3
a3=a2xq=4×4/3=16/3
դ) a3 — ը և q — ն, եթե a1 = — 4, a2 = 6
q=a2/a1=6/-4=-1,5
a3=a1xqn-1=-4×2,25=9

5)Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք իրար հաջորդող անդամներ.
ա) 7, x, 63։ Գտեք x — ը, եթե x > 0 :
x2=7×63==441
x=21
բ) 2, x, 18։ Գտեք x — ը, եթե x < 0 :
x2=2×18=36
x=-6
գ) 3,2; x; 0,2։ Գտեք x — ը ։
x2=3,2×0,2=0,64
x=0,8

1)Արտահայտությունն արտահայտե´ք a1-ով ու d-ով.
ա) a5 + a10=(a1+4d)+(a1+9d)=2a1+13d
բ) a3 + 2a7=(a1+2d)+2(a1+6d)=3a1+14d
գ) a7 + a8 — 2a6=(a1+6d)+(a1+7d)-2(a1+5d)=3d
դ) a15 + a17 — 2a16=(a1+14d)+(a1+16d)-2(a1+15d)=0

2){an} թվաբանական պրոգրեսիայում գտեք
ա) a2 և d-ն, եթե a1 = 5, a3 = 13 ;

13-5=8, 8/2=4 , d=4


բ) a1 և d-ն, եթե a2 = 3 , a10 = 19 ;

a1=1

d=2


գ) a2 և d-ն, եթե a12 = — 2 , a3 = 7 ;

a2=6

d=-1
դ) a101 և d-ն, եթե a12 = 20,5 ; a7 = 10, 5 :

a101=207,4

d=2,1

3)Տրված է {an} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվեք․
ա) S20 — ը, եթե a1 = 1 , a20 = 20 ;

210
բ) S13, եթե a1 = 17, a13 = 13 ;

195
գ) S30, եթե a1 = — 10 a30 = 20 ;

150
դ) S17, եթե a1 = 11, a17 = 19 :

255

1)Գտե՛ք օրինաչափությունը և հաջորդականության հաջորդ անդամը.
ա) 1, 11, 111, 1111, 11111,
բ) 1,-2, 3, 4, 5, -6, 7,
գ) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
դ) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2,
ե) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13,
զ) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4:

2)Գրե՛ք բանաձևով տրված հաջորդականության առաջին 5 անդամը.
ա)an = 2n + 1

a1=2*1+1=3

a2=2*2+1=5

a3=2*3+1=7

a4=2*4+1=9

a5=2*5+1=11
բ)an = 7(n — 2)

a1=7(1-2)=7*(-1)=-7

a2=7(2-2)=7*0=0

a3=7(3-2)=7*1=7

a4=7(4-2)=7*2=14

a5=7(5-2)=7*3=21


գ)an = — 4n + 2

a1=-4*1+2=6

a2=-4*2+2=10

a3=-4*3+2=14

a4=-4*4+2=18

a5=-4*5+2=22


դ)an = 1.5n + 2

a1 = 1.5*1 + 2=3.5

a2 = 1.5*2 + 2=5

a3 = 1.5*3 + 2=6.5

a4 = 1.5*4 + 2=8

a1=5 = 1.5*5 + 2=9.5
ե)an = 3n

a1=31=3

a2=32=9

a3=33=27

a4=34=81

a5=35=243
զ)an = 6 * 2n — 1

a1 = 6 * 21— 1=6

a2 = 6 * 22 — 1=2

a3 = 6 * 23 — 1=24

a4 = 6 * 24 — 1=48

a5 = 6 * 25 — 1=96

Առաջադրանքներ․

1)Լուծեք հավասարումը․


Ա)3x-3=x+2
3x-x=2+3
2x=5
x=2,5
Բ)5/x+8/x+4=0
5/x=-8/x-4
5x-20=-8
-20=-13x
x=20/13
Գ)1/x+1=-1/x-1=-x-1=x-1
-1+1=x+x
0=2x
x=0
Դ)4x+6=2x-4
6x=-4-16
x=-20/6=2*10/2*3=10/3
Ե)6(x-2)/-2(x-2)=3(4x+4)
-2+4=3x+3
3-3=3x+2x
1=5x
x=1/5
Զ)
65x/x+2=3/1
85x=3x+6
85-3x=82x
82x=6
x=6/82=3/41

2)Լուծեք հավասարումը․


Ա)(x-1)(x-1)=(x-1)2
x2-2x+1=3x+3
x2+5-2=0
D=25+8=33
X1X2=5+√33/2
Բ)2x-5/x+3=4x/2x-1
4×2-2x-10x+5=4×2+12x
-24x+5=0
x=5/24
Գ)Լուծում չունի

3)Կոտորակի համարիչը հայտարարից մեծ է 1-ով։ Գտե՛ք կոտորակը, եթե համարիչը կրկնապատկելիս կոտորակը դառնում է 2.4։

6/5

4)Մեքենան անցավ 120 կմ ճանապարհ։ Եթե մեքենայի արագությունը լիներ 10 կմ/ժ-ով ավելի, ապա նույն ճանապարհը կանցներ 1 ժամով ավելի շուտ։ Գտե՛ք մեքենայի արագությունը։

40

Հայկ և Բելի պատմությունը հայ ժողովրդի ամենակարևոր առասպելներից մեկն է։ Այս պատմության մեջ հիմնական գաղափարը ազատությունն է, որը հայ ժողովրդի համար միշտ մեծ արժեք է եղել։

Բելը բռնապետ էր, ով ցանկանում էր, որ բոլոր ժողովուրդները իրեն ենթարկվեն։ Նա ուզում էր նաև Հայկին դարձնել իր ծառան։ Սակայն Հայկը ազատասեր մարդ էր և չէր ցանկանում ապրել բռնապետի իշխանության տակ։ Նա իր ընտանիքի և ժողովրդի հետ հեռացավ Բելի երկրից՝ ցույց տալով, որ ազատությունը ավելի կարևոր է, քան անվտանգ ու հարմար կյանքը։

Բելը չհամակերպվեց Հայկի որոշման հետ և պատերազմ սկսեց նրա դեմ։ Այս կռվում Հայկը իր ուժով, խիզախությամբ և հավատով հաղթեց Բելին։ Այդ հաղթանակը խորհրդանշում է ոչ միայն մեկ մարդու հաղթանակը, այլ ամբողջ ժողովրդի ազատության պայքարը։

Հայկը դարձավ ազատության խորհրդանիշ։ Նրա կերպարը ցույց է տալիս, որ մարդը պետք է պայքարի իր իրավունքների համար և երբեք չհանձնվի բռնությանը։ Այս պատմությունը մեզ սովորեցնում է, որ ազատությունը հեշտությամբ չի տրվում, բայց այն ամենաթանկ արժեքներից մեկն է։

Այսպիսով, Հայկ և Բելի պատմությունը մեզ հիշեցնում է, որ ազատությունը պետք է պաշտպանել և պահպանել, ինչպես արել է Հայկը։